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在斐波纳契水平的策略

美式期权定价的数值方法比较

美式期权定价的数值方法比较

金融衍生品课堂 20151030 Black-Scholes Model,Binomial Model 和 Monte Carlo Simulation 在期权定价上分别起到什么作用?

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Black-Scholes模型是在1973年由芝加哥大学Black和Scholes提出的,其中涉及到著名的Black-Scholes偏微分方程。此微分方程在数学上为抛物型对流扩散(parabolic convection diffusion)方程,变量为原生资产(underlying asset,如股票等)和时间,参数为波动率和利率,均假设为常数。如果加上边界条件(期权在股价为0处的价格,以及在股价无穷大处的价格)和终值条件(期权在到期日的价格),那么,基于Black-Scholes模型欧式期权价格是可以通过偏微分方程的解析解得到。

Black-Scholes方程确实只能用于求解欧式期权定价,但是,美式期权定价是可以基于Black-Scholes模型。这就意味着,由于可以提前实施,美式期权定价在数学上不是简单的求解一个偏微分方程问题,而是更为复杂的变分不等式(variational inequality)问题,或者互补问题(complementarity problem)。这些变分不等式或者互补问题,可以基于Black-Scholes微分算子。

Binomial模型,或者Binomial Tree模型,中文翻译为二叉树模型,实际上是属于Tree模型的一类。Tree模型还有Trinomial Tree(三叉树)模型,Willow Tree(柳树)模型等。二叉树模型最早由Cox,Ross和Robinstein在1979年提出的,是一种数值定价欧式或美式期权的方法。相对于微分方程模型,树模型引入离散时间(discrete time),可以视为是对连续模型的离散化逼近。

这就是为什么业界用的最普遍的方法还是Monte Carlo方法。对于path-dependent(路径依赖)的各类奇异期权,以及multi-asset(多资产)期权模型,Monte Carlo方法直观有效。从理论上说,随机模拟方法效率和精度很低,但Monte Carlo算法中模拟路径部分相互独立,因此可以并行计算。通过大幅度提高随机次数,可以达到所需的精度。

Monte Carlo方法有多慢?根据数值上的精度估计,Monte Carlo数值解误差与随机次数开根号分之一同阶。也就是说,若数值解要精确到小数点后面1位,需要试验100次;要精确到小数点后面2位,需要试验10000次;要精确到小数点后面3位,需要试验10^6次等等。

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对于最小二乘蒙特卡洛模拟方法,相信很多人刚开始都搞不清楚到底是怎么回事,特别是对于非金融专业的同学来说,解决此类问题有点吃力,但解决美式期权定价问题,此方法被广泛使用,下面给出介绍:
由于美式期权允许期权持有人在期 权到期日之前的任何时刻执行期权,我 们无法用经典的Black-Schols公式为 其定价,所以,对美式期权的定价通常只 能采用数值分析的方法。常用的期权定 价数值方法有三类,包括二项式方法有 限差分方法和蒙特卡洛模拟方法。其中, 二项式方法和有限差分方法采用逆向求 解的方法,可以用于为美式期权定价。但 是,这两种方法均不适合处理具有多个 标的资产的期权定价问题。这是因为当 期权的标的资产不只一种时,采用二项 式方法和有限差分方法会因为栅格(或 节点)数量的急剧增加而变得不可行。而 且,这两种方法也无法处理期权的收益 依赖于标的资产价格历史信息(即路径 依赖)的期权定价问题。与这两种方法不 同,蒙特卡洛模拟方法在处理多个标的 资产和路径依赖期权定价问题方面具有 美式期权定价的数值方法比较 明显的优势。
然而,由于蒙特卡洛采用的是正向 求解的方法,我们无法计算在每个时刻 继续持有期权的期望收益,从而无法比 较在该时刻立即执行期权的收益与继续 持有期权的期望收益,进而无法决定是 立即执行期权还是继续持有期权。所以, 直到几年前,人们还认为蒙特卡洛方法 只适合为具有固定执行时间的欧式期权 定价,而不适合为美式期权定价。近年 来,随着数理金融学的发展,出现了一些 运用蒙特卡洛方法模拟美式期权定价的 算法。其中,影响最大的是由 longstaff和 schwartsz 提出的最小二乘蒙特卡洛 (美式期权定价的数值方法比较 LSM)模拟方法,该方法已成为目前使用 蒙特卡洛模拟美式期权定价的标准方 法。

以上得出样本路径后,我们将所有样本路径在时刻i的价 格 s作为 x值,将对应的样本路径上的 未来收益作为 y值并采用最小二乘法 进行回归,求得回归系数a1,a2,a3;
为了求解每条样本路径上的最优执 行时间和相应的期权收益,我们从最后 阶段(即到期日)开始。在到期日,期权执行的决策很简单:执行期权当且仅当期权是溢价的(对看跌期权,即 执行价格X大于资产价格S),此时,执行期权的收益为 max(X-S,0);,但是, 是否真的执行期权,我们还要考虑继续 持有期权至到期日的期望收益,所以将此时的资产价格S代入上述回归方程就得到期望收益,再进行比较来判断是否执行期权;
重复上述操作向前推进时间,最后得出行权现金流量矩阵和行权贴现矩阵,求出贴现矩阵的平均值即为期权价格!

前端与编译原理——用JS写一个JS解释器

说起编译原理,印象往往只停留在本科时那些枯燥的课程和晦涩的概念。作为前端开发者,编译原理似乎离我们很远,对它的理解很可能仅仅局限于“抽象语法树(AST)”。但这仅仅是个开头而已。编译原理的使用,甚至能让我们利用JS直接写一个能运行JS代码的解释器。 项目地址:https://github.com/jrainlau/c. 在线体验:https://codepen.io/j.

Hibernate

搭建开发环境 1.下载源码 2.引入jar文件 hibernate3.jar+required必须引入的(6个)+jpa目录+数据库驱动包 3.写对象以及对象的映射 Employee.java 对象 Employee.hbm.xml 对象的映射 4.src/hibernate.cfg.xml 数据库连接配置 加载所用的映射(*.hbm.xml) Hibernate的API Configuratio.

剑指offer打卡|对称的二叉树

题目描述 请实现一个函数,用来判断一颗二叉树是不是对称的。注意,如果一个二叉树同此二叉树的镜像是同样的,定义其为对称的。 代码 之前做过一题是二叉树的镜像,镜像就是照镜子一样,左右结点交换。 利用递归进行判断,若左子树的左孩子等于右子树的右孩子且左子树的右孩子等于右子树的左孩子,并且左右子树节点的值相等,则是对称的。 .

美式期权的三种定价原理是什么?如何通过数值方式进行求解?

美式期权的三种定价原理是什么

最早,由Boyle提出了使用蒙特卡罗模拟方法对期权进行定价。他进一步还提出了使用方差减少方法来提高模拟的效率。根据实证分析,蒙特卡罗模拟方法对欧式期权的定价求值十分有效。但对于美式期权,因为它是需要向后迭代搜索的,这使得蒙特卡罗模拟法没办法直接解决该定价问题。对于美式期权,B arraquand ,Martineau将标的资产价格的每个状态进行分隔,得到每一条路径在各个区域互相移动的概率,然后采用类似于网格分析法的方法进行逆向求解。Broadie ,Glasserman, Jain提出了两个估计的方法,得到两个估计值,以用来估计期权的信赖区域。

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美式期权定价的数值方法比较

宋斌 1 ,井帅 2 ,魏琳 2 ,张冰洁 2

  1. 1.中央财经大学管理科学与工程学院投资系, 北京 100081; 2.中央财经大学管理科学与工程学院管理科学系,中央财经大学管理科学与工程学院投资系,北京 100081
  • 收稿日期: 2013-07-03 修回日期: 2013-10-24 出版日期: 2014-08-25 发布日期: 2014-12-29

宋斌,井帅,魏琳,张冰洁. 移动平均亚式期权定价研究[J]. 系统科学与数学, 2014, 34(8): 897-913.

SONG Bin,JING Shuai, WEI Lin, ZHANG Bingjie. RESEARCH ON MOVING AVERAGE ASIAN OPTION PRICING[J]. Journal of Systems Science and Mathematical Sciences, 2014, 34(8): 897-913.

RESEARCH ON MOVING AVERAGE ASIAN OPTION PRICING

SONG Bin 1 ,JING Shuai 2 , WEI Lin 2 , ZHANG Bingjie 2

1.Investment Department, School of Management Science and Engineering, Central University of Finance and Economics, Beijing100081; 2.Department of Management Science, School of Management Science and Engineering, Central University of Finance and Economics,Department of Investment, School of Management Science and Engineering, Central University of Finance and Economics, Beijing 100081

  • Received: 2013-07-03 Revised: 2013-10-24 Online: 2014-08-25 Published: 2014-12-29

移动平均期权是价格依赖于标的资产移动平均价格的奇异期权, 其定价依赖于每个窗口内的标的资产的价格, 随着窗口不断向前滚动, 就会有无穷多个移动平均过程, 而无穷多个移动平均过程是无限维的非马尔科夫问题, 因此该研究具有较大的挑战性, 研究成果较少.移动平均亚式期权多用于场外的能源(石油, 天然气, 电力)衍生品合约, 因此研究其定价和数值计算方法具有一定的理论意义和实践价值.本文以移动平均亚式期权为研究对象, 运用截断的拉盖尔序列的方法, 通过估计近似测度, 以有限维的移动平均过程近似无限维的移动平均过程.随着拉盖尔序列所取阶数的增加, 有限维移动平均对无限维移动平均的近似效果将越来越好.美式期权定价的数值方法比较 在得到近似的有限维标的资产价格的移动平均过程后, 移动平均期权的定价转化为一个美式期权最优停时问题, 本文用最小二乘蒙卡解决美式移动平均期权的最优行权问题, 从而给移动平均亚式期权定价, 数值分析表明通过对比拉盖尔方法和蒙卡模拟的方法, 拉盖尔方法的稳定性较高.而对于固定执行价格和浮动执行价格移动平均亚式期权, 都存在随着窗口长度增加, 期权价格上涨的递增关系, 这与一般的逻辑推断吻合.数值计算结果还表明当窗口长度增加到期权整个有效期时, 移动平均亚式期权就退化为相应的亚式期权.进一步证明了该方法的正确性.